求证曲线根号下x+根号下y=根号下a（a>0)上任一点处的切线截两坐标轴的截距之和等于常数a.

Question

求证曲线根号下x+根号下y=根号下a（a>0)上任一点处的切线截两坐标轴的截距之和等于常数a.

Answer 1

√x+√y=√a.
√y=√a-√x.
平方得y=a+x-2√(ax)
y'=1-√a/√x.
设切点为(x0,y0),√y0=√a-√x0
则切线方程为y=(1-√a/√x0)(x-x0)+y0.
令x=0得y=y0-x0+√(ax0)
令y=0得x=y0√x0/(√a-√x0)+x0
所以x+y=y0+√(ax0)-y0√x0/(√x0-√a)
=√(ax0)+y0*(-√a)/(√x0-√a)
=√(ax0)-√a*(√a-√x0)²/(√x0-√a)
=√(ax0)-√a(√x0-√a)
=a.