在直角坐标系xOy中，A（-0.3，0）、C是x轴上的两点，P点的坐标为（0，0.3）．在第二象限内以D（-0.3，0.3）为圆心、0.3m为半径的14圆形区域内，分布着方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B

Question

在直角坐标系xOy中，A（-0.3，0）、C是x轴上的两点，P点的坐标为（0，0.3）．在第二象限内以D（-0.3，0.3）为圆心、0.3m为半径的(1)/(4)圆形区域内，分布着方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B=0.1T 的匀强磁场；在第一象限三角形OPC之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场．现有大量质量为m=3×10^-9kg、电荷量为q=1×10^-4C的相同粒子，从A点平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从P点进入电场，经电场后恰好通过C点．已知α=37°，不考虑粒子间的相互作用及其重力，求：

（1）粒子的初速度大小和电场强度E的大小；
（2）粒子穿越x正半轴的最大坐标．

Answer 1

（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径r，粒子的初速度v
        洛伦兹力提供向心力：qvB=m(v2)/(r)
        可得：r=(mv)/(qB)①
        根据题意和几何知识，可得r=DP=0.3m代入①得：v=1×10³m/s
        沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与y轴垂直．所以，该粒子在电场中做类平抛运动，设类平抛运动时间为t
        x方向：OC=vt ②
        y方向：OP=(1)/(2)at² ③
        根据几何关系得：(OP)/(OC)=tanα ④
        根据牛顿第二定律：Eq=ma ⑤
        ②③④⑤式子联立得：E=112.5V/m
（2）设速度方向与x轴正方向的夹角为θ的入射粒子，从x正半轴穿过时距离O点最远，粒子从F点离开磁场，其中O′是粒子运动轨迹的圆心，粒子运动到F点时的速度为v_F，
        由于粒子的运动半径等于磁场的半径，所以四边形ADFO′为菱形，O′F∥AD，速度v_F⊥O′F，而AD又是竖直方向，所以v_F垂直于y轴从F′点进入电场，仍做类平抛运动
        设粒子在电场中的运动时间为t′，粒子穿越x正半轴的最大坐标为x_C，粒子做类平抛运动x方向的位移为x，F′点的坐标为（x_F′，y_F′），F点的纵坐标为y_F，则y_F=y_F′，
        类平抛过程，x方向：x=vt′⑥
                           y方向：y_F=(1)/(2)at′² ⑦
        粒子到达x轴的坐标为x_C=x+x_F′⑧
        根据几何关系得：x_F′=(r-yF)/(tanα)  ⑨
                                  y_F=r（1-cosθ） ⑩
        联立①⑥⑦⑧⑨⑩式，得：x_C=0.4√(1-cosθ)+0.4cosθ
        令√(1-cosθ)=k，所以x_C=0.4k+0.4（1-k²）
        根据数学知识可知，当k=0.5时x_C有最大值，最大值为0.5m
答：（1）粒子的初速度大小v=1×10³m/s，电场强度的大小为E=112.5V/m；
      （2）粒子穿越x正半轴的最大坐标为0.5m．