已知数列an的首项a1=a(a是常数a≠-1),an=2a(n-1)+1(n是≥2的整数)问（1）an可能是等差数列吗?说明理由（2）设bn=an+c,其中c为常数,且bn是等比数列,求实数c的值,并求出bn和an的通项公式求解过程.

Question

已知数列an的首项a1=a(a是常数a≠-1),an=2a(n-1)+1(n是≥2的整数)问（1）an可能是等差数列吗?说明理由（2）设bn=an+c,其中c为常数,且bn是等比数列,求实数c的值,并求出bn和an的通项公式求解过程.

Answer 1

(1)第一问我们只需验证2a2＝a1+a3是否成立即可,
a1＝a,a2＝2a＋1,a3＝4a+3,
带入解得a＝-1
与题意a≠-1相矛盾,故{an}不可能为等差数列.
(2)由 an=2a(n-1)+1＝2〔 a(n-1)+1 〕-1 (n≥2)
得 an+1=2〔 a(n-1)+1 〕 (n≥2) 且a1+1≠0
故数列{an+1}为等比数列,首项为a+1,公比为2
由题目所给条件对比知
bn＝an+1,此时c＝1
不难求得
an＝(a+1)2^(n-1)-1,n∈N*
bn＝ (a+1)2^(n-1),n∈N*