等比数列设数列｛an｝的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=40961)求数列｛an｝的通项公式2）设数列｛log2(an)｝的前n项和为Tn(说明,2为底数,an为真数）,对数列｛Tn｝,从第几项起Tn＜509?————

Question

等比数列
设数列｛an｝的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096
1)求数列｛an｝的通项公式
2）设数列｛log2(an)｝的前n项和为Tn(说明,2为底数,an为真数）,对数列｛Tn｝,从第几项起Tn＜509?————过程

Answer 1

1)求数列｛an｝的通项公式
an+Sn=4096 ①
a(n-1)+S(n-1)=4096 ②
①-②得 an=(1/2)a(n-1) Sn-S(n-1）=an
又因为a1+S1=4096 a1=2048
a2+S2=4096 a2=1024 a2=(1/2)a1
所以{an}是以2048为首项（1/2）为公比的等比数列
an=2048×（1/2）^（n-1）
=2^(12-n)
2）设数列｛log2(an)｝的前n项和为Tn(说明,2为底数,an为真数）,对数列｛Tn｝,从第几项起Tn＜509?————过程
设bn=log2(an)=log2 [2^(12-n)] =12-n ④
b(n-1)=12-(n-1)=13-n ⑤
④-⑤得 bn-b(n-1）=-1
又因为b1=12-1=11 b2=12-2=10
则{bn}是以11为首项,-1为公差的等差数列
Tn=（1/2）×n×(a1+an)=-(1/2)n²+（1/2)23n
Tn＜509即 -(1/2)n²+(1/2)23n＜509
n²-23n+1018＞0 恒成立
因此n≥1时,满足条件 即从第1项起满足条件.