若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=aex+1（a>0）存在公共切线，则实数a的取值范围为（）A.（0，4e2]B.（0，8e2]C.[4e2，+∞）D.[8e2，+∞）

Question

若二次函数f（x）=x²+1的图象与曲线C：g（x）=ae^x+1（a>0）存在公共切线，则实数a的取值范围为（　　）

A. （0，

(4)/(e2)]

B. （0，

(8)/(e2)]

C. [

(4)/(e2)，+∞）

D. [

(8)/(e2)，+∞）

Answer 1

设公切线与f（x）=x²+1的图象切于点（x₁，x12+1），
与曲线C：g（x）=ae^x+1切于点（x₂，aex2+1），
∴2x₁=aex2=((aex2+1)-(x12+1))/(x2-x1)=(aex2-x12)/(x2-x1)，
化简可得，2x₁=(2x1-x12)/(x2-x1)，得x₁=0或2x₂=x₁+2，
∵2x₁=aex2，且a>0，∴x₁>0，则2x₂=x₁+2>2，即x₂>1，
由2x₁=aex2得a=(2x1)/(ex2)=(4(x2-1))/(ex2)，
设h（x）=(4(x-1))/(ex)（x>1），则h′（x）=(4(2-x))/(ex)，
∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
∴h（x）_max=h（2）=(4)/(e2)，
∴实数a的取值范围为（0，(4)/(e2)]，
故选：A．