积分上下限各变为相反数,积分符号也要变吗

Question

积分上下限各变为相反数,积分符号也要变吗
 

Answer 1

是的,要变.
首先,已知f(x)是奇函数,那么,f(x)=-f(-x).我们可以把定积分中的被积函数从f(x)变成-f(-x)但是要考虑到被积函数的定义域.还要用到一个定积分的性质是：f(-x)d（-x）的定积分可以写成f(t)dt的定积分,我们可以用新的x代替t,即写成f(x)dx的定积分.

具体变化步骤如下图所示,

可以看到最终结果就是积分上下限各变为相反数,且积分负号需要改变.
不好意思,一开始没有看全你的图片,不过你的图片有半截好像没有吧.对于偶函数,我们可以同理推导,

注意,偶函数最终结果积分上下限不但变成了原来的相反数,而且还互换了位置.