已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2+6，则此正方形的边长为．

Question

已知正方形ABCD内一点，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为√(2)+√(6)，则此正方形的边长为______．

Answer 1

如图，设E到A点，B点，C点的距离之和的最小值为√(2)+√(6)．
以B为旋转中心，把△AEB按逆时针方向旋转60°，得△FGB，连CF，
∴△BEG是正三角形，
∴BE=GE，
∴AE+EB+CE=FG+GE+EC≥FC，当且仅当取等号时，AE+BE+CE最小，
∴FC=√(2)+√(6)，
设正方形的边长为2x，过F作FG⊥BC于G点，如图，
∵∠ABF=60°，
∴∠FBG=30°，
∴FG=x，BG=√(3)x，则CG=（2+√(3)）x，
在Rt△FG′C中，FC²=FG²+GC²，即（√(2)+√(6)）²=x²+[（2+√(3)）x]²，
解得x=1，
∴正方形的边长为2x=2．
故答案为2．