已知关于x的整式能被x+3整除,它除以x+2,x-3所得的余数分别为-4,6,求满足上述条件的次数最低的整式

Question

已知关于x的整式能被x+3整除,它除以x+2,x-3所得的余数分别为-4,6,求满足上述条件的次数最低的整式

Answer 1

若是一次
a(x+3)=b(x+2)-4=c(x-3)+6
ax+3a=bx+2b-4=cx-3c+6
ax+3a=bx+2b-4
所以a=b,3a=2b-4,a=b=-4
ax+3a=cx-3c+6
a=c,3a=-3c+6,a=c=1
两个a矛盾
若是2次
则ax^2+bx+c=A(x+3)=B(x+2)-4=C(x-3)+6
所以x=-3时,A(x+3)=0,则ax^2+bx+c=9a-6b+c=0 (1)
x=-2,B(x+2)-4=-4,所以ax^2+bx+c=4a-2b+c=-4 (2)
x=3,C(x-3)+6=6,所以ax^2+bx+c=9a+6b+c=6 (3)
(3)-(1)
12b=6,b=1/2,不是整数
所以不是2次
若是3次
则ax^3+bx^2+cx+d=A(x+3)=B(x+2)-4=C(x-3)+6
所以x=-3时,A(x+3)=0,则ax^3+bx^2+cx+d=-27a+9b-3c+d=0 (1)
x=-2,B(x+2)-4=-4,所以ax^3+bx^2+cx+d=-8a+4b-2c+d=0=-4 (2)
x=3,C(x-3)+6=6,所以ax^3+bx^2+cx+d=27a+9b+3c+d=6 (3)
(3)-(1)
54a+6c=6
9a+c=1
c=1-9a (4)
(3)+(1)
18b+2d=6
9b+d=3
d=3-9b (5)
代入(2)
-8a+4b-2(1-9a)+(3-9b)=-4
10a-5b=-5
2a-b=-1
则不妨令a=1,则b=3
c=1-9a=-8
d=3-9b=-24
所以是x^3+3x^2-8x-24