100分.割线法迭代求根的收敛阶为什么是1.618?求证明.用割线法迭代公式求方程根时(公式为x{n+1}=xn-f[xn](xn-x{n-1})/(f[xn]-f[x{n-1})就是牛顿法用差商代替微分之后的表达式),书上其收

Question

100分.割线法迭代求根的收敛阶为什么是1.618?求证明.
用割线法迭代公式求方程根时(公式为 x_{n+1} = x_n - f[x_n]( x_n - x_{n-1} ) / (f[x_n]-f[x_{n-1} ) 就是牛顿法用差商代替微分之后的表达式),书上其收敛阶是(1+根号5)/2=1.618,比牛顿法略慢而比二分法快,并且不用算函数的微分表达式所以是复杂函数求根的常用方法.但是我查阅了很多书都是直接给出这个收敛阶而没有证明,想问问看大家能帮我解答这个疑惑不.
另,用抛物线法插值求根迭代的收敛阶是1.839,可以的话一并帮我解答了吧,呵呵.

Answer 1

这个其实就是牛顿法的改进
( x_n - x_{n-1} ) / (f[x_n]-f[x_{n-1} )相当于Δx/Δy,也就是牛顿法的1/f'(x)
将牛顿法x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))
中的 f'(x(n))用Δy/Δx代替,然后用相邻的已经计算的两个点代进去就是这个公式了.