设函数f（x）=（mx+n）lnx．若曲线y=f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程为y=2x-e（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a，b∈R+，试比较f(a)+f(b)2与f(a+b2)的大小，

Question

设函数f（x）=（mx+n）lnx．若曲线y=f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程为y=2x-e（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a，b∈R⁺，试比较(f(a)+f(b))/(2)与f((a+b)/(2))的大小，并予以证明．

Answer 1

f′（x）=mlnx+m+(n)/(x)，（x>0），
故f（e）=me+n，f′（e）=2m+(n)/(e)，
故切线方程是：y=（2m+(n)/(e)）x-me=2x-e，
故m=1，n=0，
故f（x）=xlnx；
（Ⅰ）∵f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+lnx，
令f′（x）>0，解得：x>(1)/(e)，
令f′（x）<0，解得：0<x<(1)/(e)，
故f（x）在（0，(1)/(e)）递减，在（(1)/(e)，+∞）；
（Ⅱ）不妨设0<a<b，∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
令F（x）=f（a）+f（x）-2f（(a+x)/(2)），
∴F′（x）=f′（x）-f′（(a+x)/(2)）=lnx-ln(a+x)/(2)，
当0<x<a时，F'（x）<0，当a<x时，F'（x）>0，
∴F（x）在（0，a）上为减函数，F（x）在（a，+∞）上为增函数，
∴当x=a时，F（x）_min=F（a）=0，
∵b>a，
∴F（b）>F（a），
∴f（a）+f（b）-2f（(a+b)/(2)）>0，
∴(f(a)+f(b))/(2)>f((a+b)/(2))．