已知a、b都是正整数,试问关于X的方程x^2-abx+1/2(a+b)=0是否有两个整数解.若没有,给出证明.

Question

已知a、b都是正整数,试问关于X的方程x^2-abx+1/2(a+b)=0是否有两个整数解.若没有,给出证明.

Answer 1

你好,走着走着就笑了
有,这两个整数解分别是1,2
设a≤b,且方程的两个整数根为 ( x1≤x2 ),x1+x2=ab,x1*x2=1/2(a+b)
算出x1*x2-x1-x2=ab-1/2a-1/2b：4(x1-1)(x2-1)+(2a-1)(2b-1)=5又因为a,b都是正整数,x1,x2均是正整数,于是,x1-1 ≥0, x2-1≥0,2a-1 ≥1, 2b-1≥1,所以(x1-1)(x2-1)=0(2a-1)(2b-1)=5或
(x1-1)(x2-1)=1(2a-1)(2b-1)=1
(1)当(x1-1)(x2-1)=0(2a-1)(2b-1)=5 时,由于a,b都是正整数,且 a≤b,可得
a＝1,b＝3,
此时,一元二次方程为X^2-3x+2=0 ,它的两个根为 1, 2．
(2)当 (x1-1)(x2-1)=1(2a-1)(2b-1)=1
时,可得
a＝1,b＝1,
此时,一元二次方程为 x^2-x+1=0,它无整数解.