求问试根法,到底怎么除啊,是常数项系数约数除于最高次项系数约数吗?

Question

求问试根法,到底怎么除啊,是常数项系数约数除于最高次项系数约数吗?

Answer 1

定理是这样的:
设f(x) = a[0]·x^n+a[1]·x^(n-1)+...+a[n]是一个整系数多项式,满足a[0],a[n] ≠ 0.
若p,q为互素的整数使得x = p/q为f(x)的根,则有p整除a[n],q整除a[0].
所以你的表述是正确的,需要注意的是约数不只包含正约数,还有负约数.
例:f(x) = 14x³-x²-73x-30.
候选的有理根有:±1,±2,±3,±5,±6,±15,±30,
±1/2,±3/2,±5/2,±15/2 (由p,q互素,没有±2/2,±6/2,±30/2的项),
±1/7,±2/7,±3/7,±5/7,±6/7,±15/7,±30/7,
±1/14,±3/14,±5/14,±15/14.
(正常来说不至于出这么麻烦的题,这里仅为举例).
当找到一个根后,建议先提取因式再对分解后的因式试根.
例如找到x = -2是一个根,f(x) = (x+2)(14x²-29x-15).
暂时忽略一元二次方程可以用求根公式这件事(或者直接十字相乘).
14x²-29x-15的候选的有理根有:±1,±3,±5,±15,
±1/2,±3/2,±5/2,±15/2,
±1/7,±3/7,±5/7,±15/7,
±1/14,±3/14,±5/14,±15/14.
一般来说候选的根会像这样比原先减少一些.
另外如果已经试过而不是根的数可以不用再试,
但是已经试过是根的数可能在提出一个因子后还是根(即所谓重根).
本题的答案是f(x) = (x+2)(2x-5)(7x+3).