求说明一下重因式中“重”字的含义?

Question

求说明一下重因式中“重”字的含义?

Answer 1

定义 设p(x) 为不可约多项式. 如果f(x)能被p(x) 的k次方整除而p（x）的k+1次方不能, 则称p(x) 是 f(x)的k 重因式.
若k=0, 则p(x) 不是f(x) 的因式.
若k=1, 则称 p(x) 是f(x) 的单因式.
若k>1, 则称 p(x) 是f(x) 的重因式.
也可以定义高阶微商的概念, 一阶微商f'(x) 的微商称为f(x) 的二阶微商, 记为f''(x). 一般地,f(x) 的k 阶微商定义为f(x) 的k-1 阶微商的微商:
定理 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k 重因式（k≥1), 那么它是f'(x) 的k-1 重因式.
注意: 该定理的逆定理一般不成立
推论 1
如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式, 那么p(x) 分别是f'(x),f''(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式, 但不是f(k)（x） 的因式.
推论 2
不可约多项式p(x) 是f(x) 的重因式的充分必要条件是p(x) 为f(x) 与 f'(x)的公因式.
推论 3
多项式 f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f'(x))=1.
g(x)=f(x)/(f(x),f'(x))是一个没有重因式的且与 f(x)具有完全相同的不可约因式的多项式, 这种多项式很有用.