如图，正三棱柱A1B1C1-ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点．（1）求证：ED∥平面BB1C1C（2）若AB=2BB1，求证：A1B⊥平面B1CE．

Question

如图，正三棱柱A₁B₁C₁-ABC，点D，E分别是A₁C，AB的中点．

（1）求证：ED∥平面BB₁C₁C
（2）若AB=√(2)BB₁，求证：A₁B⊥平面B₁CE．

Answer 1

证明：（1）连结AC₁，BC₁，
∵AA₁C₁C是矩形，D是A₁C的中点，∴D是AC₁的中点，
在△AA₁C₁C中，∵D、E分别是AC₁、AB的中点，
∴DE∥BC₁，
∵DE⊄平面BB₁C₁C，BC₁⊂平面BB₁C₁C，
∴ED∥平面BB₁C₁C．
（2）∵△ABC是正三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，
又∵正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，交线为AB，
∴CE⊥平面ABB₁A₁，
∴CE⊥A₁B，
在矩形ABB₁A₁中，∵(A1B1)/(B1B)=√(2)=(B1B)/(BE)，
∴Rt△A₁B₁B∽Rt△B₁BE，∴∠B₁A₁B=∠BB₁E，
∴∠B₁A₁B+∠A₁B₁E=∠BB₁E+∠A₁B₁E=90°，
∴A₁B⊥B₁E，
∵CE，B₁E⊂平面B₁CE，CE∩B₁E=E，
∴A₁B⊥平面B₁CE．