阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下

Question

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是 O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是

ABC

的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．

下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是

ABC

的中点，
∴MA=MC
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于 O，AB=2，D为

AC

上 一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是___．

Answer 1

（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是

ABC

的中点，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中

BA=GC

∠A=∠C

MA=MC

，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2） 如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵

AB=AC

∠ABF=∠ACD

BF=DC

，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=(AB)/(√(2))=√(2)，
则△BDC的周长是2+2√(2)．
故答案为：2+2√(2)．