已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为an

Question

已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a_n．
（1）当n=5时，写出所有T子集；
（2）求a₁₀；
（3）记S_n=(a3)/(23)+(a4)/(24)+(a5)/(25)+…+(an)/(2n)，求证：S_n＜2．

Answer 1

（Ⅰ）当n=5时，所有T子集：
{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．
（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：
第一类子集中不含有k+2，这类子集有a_k+1个；
第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，
或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a_k+k个．
所以a_k+2=a_k+1+a_k+k．
因为a₃=1，a₄=3，
所以a₅=7，a₆=14，a₇=26，a₈=46，a₉=79，a₁₀=133．
（Ⅲ）∵Sn＝(1)/(23)+(3)/(24)+(7)/(25)+…+(an)/(2n)，①
(1)/(2)Sn=(1)/(24)+(3)/(25)+(4)/(26)+…+(an)/(2n+1)，②
①-②，得：(1)/(2)Sn＝(1)/(23)+((2)/(24)+(4)/(23)+(7)/(26)+…+(an−2+n−2)/(2n))-(an)/(2n+1)
=(1)/(23)+(2)/(24)+(1)/(22)((a2+4)/(24)+…+(an−2+n−2)/(2n))-

作业帮用户 2016-12-14

问题解析

（Ⅰ）当n=5时，利用列举法能求出所有T子集．
（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：第一类子集中不含有k+2，这类子集有a_k+1个；第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a_k+k个，由此能求出a₁₀．
（Ⅲ）由Sn＝

(1)/(23)+(3)/(24)+(7)/(25)+…+(an)/(2n)，得(1)/(2)Sn=(1)/(24)+(3)/(25)+(4)/(26)+…+(an)/(2n+1)，由此利用错位相减法能证明S_n＜2

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合．

考点点评：

本题考查所有T子集的求法，考查数列的第10项的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

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