已知正四面体的棱长为a,求它的内外接球的体积?最好把怎么找球心写出来!

Question

已知正四面体的棱长为a,求它的内外接球的体积?最好把怎么找球心写出来!

Answer 1

设正四面体P-ABC,作高PH,交底面ABC于H,则H是正三角形ABC的外心,（重心）,
连结AH,交BC于D,
AB=BC=AC= a,
AD=√3a/2,
根据重心的性质,AH=2AD/3=√3a/3,
根据勾股定理,
PH^2=AP^2-AH^2,
PH=√6a/3,
在平面PAH上,作PA的垂直平分线OM,交PH于O点,M是AP上中点,则O点就是外接球和内切球的球心,
△PMO∽△PHA,
PM*PA=PO*PH,
(a/2)*a=PO*√6a/3,
PO=√6a/4,
∴外接球半径R=√6a/4.
分别连结OA、OB、OC、
则正四面体分成4个小棱锥,
每个棱锥高是内切球半径r,
设每个正三角形面积为S,
S*PH/3=4S*r/3,
r=PH/4=(√6a/3)/4=√6a/12.
∴内切球半径为√6a/12.
外接球体积V1=4πR^3/3=√6πa^3/8,
内切球体积V2=4πr^3/3=√6πa^3/216.