求所有的实数x,使得集合{sinx,sin2x,sin3x}={cosx,cos2x,cos3x}

Question

求所有的实数x,使得集合{sinx,sin2x,sin3x}={cosx,cos2x,cos3x}

Answer 1

计算了2个小时啊!计算量太大,考试非超时不可!
设a=sinx,b=cosx,则A={sinx,sin2x,sin3x}={a,2ab,3a-4a^3},
B={cosx,cos2x,cos3x}={b,b^2-a^2=1-2a^2=2b^2-1,4b^3-3b}
因为A=B,(1)假设a=b,因为a^2+b^2=1,所以a^2=b^2=1/2,所以3a-4a^3=a(3-4a^2)=a(3-4/2)=a,矛盾,所以a≠b
(2)再假设b=2ab,则有a=1/2或b=0,
当a=1/2时,b^2=3/4,所以4b^3-3b=b(4b^2-3)=0但是集A中不含元素0,矛盾.
当b=0时,显然cos3x=cosx=0,又矛盾.
所以b≠2ab
因此,只有b=3a-4a^3,则a=1-2a^2或a=4b^3-3b
当a=1-2a^2时,2a^2+a-1=0,a=-1或1/2
若a=-1,则b=0矛盾,若a=1/2也是矛盾（见(2))
所以A=B时只有a=4b^3-3b,b=3a-4a^3,2ab=b^2-a^2
我们把三角函数代回,得方程组
sinx=cos3x①
cosx=sin3x②
sin2x=cos2x③
由③得tan2x=1,所以2x=kπ+π/4,x=kπ/2+π/8
最后,令k=4n,4n+1,4n+2,4n+3分别代入①②检验都成立
因此,A=B的所有解就是x=kπ/2+π/8
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