在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是()A．9B．10C．11D．12

Question

在正三棱锥 （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中， ,过 作与 分别交于 和 的截面，则截面 的周长的最小值是 (    )

A．9

B．10

C．11

D．12

Answer 1

在正三棱锥 （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中， ,过 作与 分别交于 和 的截面，则截面 的周长的最小值是 (    )

A．9

B．10

C．11

D．12

C

分析：利用正三棱锥P-ABC的侧面展开图，即可将求△ADE的周长的最小值问题转化为求展开图中线段的长的问题，进而在三角形中利用解三角形的知识计算即可
此正三棱锥的侧面展开图如图：则△ADE的周长为AD+DE+EA′，由于两点之间线段最短，

∴当D、E处于如图位置时，截面△ADE的周长最小，即为AA′的长
设∠APB=α，过P作PO⊥AA′，则O为AA′中点，∠APO= ，
在等腰三角形PAB中，sin = = ，cos =
∴cosα=1-2sin ² = ，sinα=2sin ?cos =
∴sin =sin（α+ ）=sinαcos +cosαsin = × + × =
∴AA′=2AO=2AP×sin =16× =11
故选C