问题情境如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；结论运用如图2，正方形ABCD的边长为6，

Question

【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC²=AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．

Answer 1

【问题情境】
证明：如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
而∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；
【结论运用】
（1）证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC²=BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC²=BF•BE，
∴BO•BD=BF•BE，
即(BO)/(BE)=(BF)/(BD)，
而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
（2）∵BC=CD=6，
而DE=CE，
∴DE=4，CE=2，
在Rt△BCE中，BE=√(22+62)=2√(10)，
在Rt△OBC中，OB=(√(2))/(2)BC=3√(2)，
∵△BOF∽△BED，
∴(OF)/(DE)=(BO)/(BE)，即(OF)/(4)=(3√(2))/(2√(10))，
∴OF=(6√(5))/(5)．