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如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,BF⊥AB交AD的延长线于点F,(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
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如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,BF⊥AB交AD的延长
线于点F,
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.

(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连OD,如图,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2(等弦对等角),
又∵OD=OA,得∠2=∠3(等角对等边),
∴∠1=∠3(等量代换),
而DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)过D作DP⊥AB,P为垂足,
∵AD为∠BAC的平分线,DE=3,
∴DP=DE=3,又⊙O的半径为5,
在Rt△OPD中,OD=5,DP=3,得OP=4,则AP=9,
∵BF⊥AB,
∴DP∥FB,
∴
=
,即
=
,
∴BF=
.

∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2(等弦对等角),
又∵OD=OA,得∠2=∠3(等角对等边),
∴∠1=∠3(等量代换),
而DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)过D作DP⊥AB,P为垂足,
∵AD为∠BAC的平分线,DE=3,
∴DP=DE=3,又⊙O的半径为5,
在Rt△OPD中,OD=5,DP=3,得OP=4,则AP=9,
∵BF⊥AB,
∴DP∥FB,
∴
DP |
FB |
AP |
AB |
3 |
BF |
9 |
10 |
∴BF=
10 |
3 |
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