如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF

Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．
（1）如图1，当AC=8，点G在边AB上时，求DE和EF的长；
（2）如图2，若(DE)/(EF)=(1)/(2)，设AC=x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）若(DE)/(EF)=(2)/(3)，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=√(BC2+AC2)=10，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD=BD=5，
∵DEFG为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴(AD)/(AC)=(DE)/(BC)，即(5)/(8)=(DE)/(6)，
解得，DE=(15)/(4)，
∵△ADE∽△FGB，
∴(AD)/(GF)=(DE)/(BG)，
则BG=(45)/(16)，
∴EF=DG=AB-AD-BG=(35)/(16)；
（2）如图2，作DH⊥AC于H，
∴DH∥BC，又AD=DB，
∴DH=(1)/(2)BC=3，
∵DH⊥AC，∠C=90°，∠DEF=90°，
∴△DHE∽△ECF，
∴(DE)/(EF)=(DH)/(EC)=(1)/(2)，
∴EC=2DH=6，EH=(1)/(2)x-6，
∴DE²=3²+（(1)/(2)x-6）²=(1)/(4)x²-6x+45，
∴y=DE•EF=2DE²=(1)/(2)x²-12x+90，
（3）如图3，当点G在边BC上时，
∵(DE)/(EF)=(2)/(3)，DE=3，
∴EF=(9)/(2)，
∴AC=9，
如图4，当点G在边AB上时，
设AD=DB=a，DE=2b，EF=3b，
∵△ADE∽△FGB，
∴(AD)/(DE)=(FG)/(GB)，即(a)/(2b)=(2b)/(a-3b)，
整理得，a²-3ab-4b²=0，
解得，a=4b，a=-b（舍去），
∴AD=2DE，
∵△ADE∽△ACB，
∴AC=2BC=12，
综上所述，点G恰好落在Rt△ABC的边上，AC的长为9或12．