由下列不等式1+1/2+1/3+.+1/(2^n-1)>n/2

Question

由下列不等式1+1/2+1/3+.+1/(2^n-1)>n/2

Answer 1

数学归纳法.
当n=1时,1>1/2
假设当n=k时,成立,则
1+1/2+1/3+...+1/(2^k-1)>k/2
那么,需证n=k+1时成立.
1+1/2+1/3+...+1/(2^(k+1)-1)>(k+1)/2
利用n=k时的成立关系,化为：
1/(2^k)+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/(2^(k+1)-1)>(k+1)/2-k/2=1/2
注意到左边一共有2^(k+1)-1-2^k+1项（分母是等差为1的数列,项数=末项-首项+1）
项数=2^(k+1)-2^k=2^k
所以左边有2^k个分子为1的分数.
将右边也化成2^k个分子为1的分数.
1/2=(2^k)/(2^(k+1))=1/(2^(k+1))+1/(2^(k+1))+...+1/(2^(k+1))
全是同一个分数,自己加自己,一共2^k个自己加起来.
左边的2^k个分数和右边的2^k个分数捉对比较.
1/(2^k)>1/(2^(k+1))
...
1/(2^(k+1)-1)>1/(2^(k+1))
左边的每个都比右边的大.
所以左边>右边.
所以n=k+1时,原不等式仍然成立.
因此,得证.