基本不等式关于“1”的代换,到底怎么用啊..为什么见了题目想不起来怎么变换呢?谁有规律、题型总结啊?

Question

基本不等式 关于“1”的代换,到底怎么用啊..为什么见了题目想不起来怎么变换呢?谁有规律、题型总结啊?

Answer 1

有关利用基本不等式求最值的问题,有时必须使用1的代换来解决.
例：已知a>0,b>0,2a＋b=1,求2/a＋1/b的最小值.
【解法一】
因为a、b都是正数,则2a＋b≥2√(2ab),因2a＋b=1,则2√(2ab)≤1,得：2ab≤1/4,1/(ab)≥8
又：(2/a)＋(1/b)≥2√[2/(ab)],而1/(ab)≥8,则：(2/a)＋(1/b)≥2√[2×8]=8,即：(2/a)＋(1/b)的最小值是8
【分析】此解法的错误在于连续使用基本不等式：①2a＋b≥2√(2ab)【此时等号成立的条件是：2a=b】②(2/a)＋(1/b)≥2√[2/(ab)]【此时等号成立的条件是：2/a=1/b即：a=2b】最终要取得最小值√2,则必须2a=b且a=2b同时成立,事实上这个不可能取到的.从而此解法错误.
【正解】
M=(2/a)＋(1/b)=(2a＋b)[(2/a)＋(1/b)]==【因为2a＋b=1】====5＋[(2a/b)＋(2b/a)]≥5＋2√[(2a/b)×(2b/a)]=5＋4=9,则M的最小值是9,当且仅当2a/b=2b/a时即a=b时取等号.
【分析】
利用基本不等式求最值,注意三点：①利用时的条件：必须是正；②注意等号取得的条件；③一般情况下,连续使用基本不等式,需要慎重.【主要是等号成立的条件可能会不一致】