某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：成绩大于或等于90分的具有参赛资格．某校有800名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间[30，150]内，其频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参

Question

某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：成绩大于或等于90分的具有参赛资格．某校有800名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间[30，150]内，其频率分布直方图如图：

（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；
（Ⅱ）若大赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为(1)/(9)，求甲在初赛中答题个数X的分布列及数学期望E（X）

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，成绩在[90，110）之间的频率为
1-20×（0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125）=0.3，
0.3+（0.0125+0.0050）×20=0.65，
故所求获得参赛资格的人数为800×0.65=520；
（Ⅱ）设甲答对每一个问题的概率为p，则（1-p）²=(1)/(9)，
∴p=(2)/(3)，
甲在初赛中答题个数X的所有取值为3，4，5；
则P（X=3）=((2)/(3))3+((1)/(3))3=(1)/(3)；
P（X=4）=

C

2 3

•((2)/(3))2•(1)/(3)•(2)/(3)+

C

2 3

•((1)/(3))2•(2)/(3)•(1)/(3)=(10)/(27)；
P（X=5）=

C

2 4

•((2)/(3))2((1)/(3))2=(8)/(27)；
故X的分布列为：

X	3	4	5
P	(1)/(3)	(10)/(27)	(8)/(27)

数学期望为E（X）=3×(1)/(3)+4×(10)/(27)+5×(8)/(27)=(107)/(27)．