二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=-1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M

Question

二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，(1)/(4)）；点F（0，1）在y轴上．直线y=-1与y轴交于点H．

（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

Answer 1

（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y=ax²，
将点A（1，(1)/(4)）代入y=ax²得：a=(1)/(4)，
∴二次函数的解析式为y=(1)/(4)x²；
（2）证明：∵点P在抛物线y=(1)/(4)x²上，
∴可设点P的坐标为（x，(1)/(4)x²），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=(1)/(4)x²-1，PB=x，
∴Rt△BPF中，
PF=√(((1)/(4)x2-1)2+x2)=(1)/(4)x²+1，
∵PM⊥直线y=-1，
∴PM=(1)/(4)x²+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥y轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，
∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴(1)/(4)x²+1=4，
解得：x=±2√(3)，
∴(1)/(4)x²=(1)/(4)×12=3，
∴满足条件的点P的坐标为（2√(3)，3）或（-2√(3)，3）．