如图所示，在坐标系xOy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=103N/c，在其他象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里．A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h=5cm

Question

如图所示，在坐标系xOy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=10³N/c，在其他象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里．A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h=5cm；C是x轴上的一点，到O的距离为L=10cm．一比荷(q)/(m)=10⁶c/kg的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域，并再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角．不计重力作用，试求：
（1）粒子经过C点时速度的大小和方向；
（2）粒子做圆周运动轨迹半径R；
（3）磁感应强度的大小B．

Answer 1

（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有qE=ma     ①
加速度沿y轴负方向．设粒子从A点进入电场时的初速度为v₀，由A点运动到C点经历的时间为t，
则有 h＝(1)/(2)at2   ②
l=v₀t          ③
由①②③得：v0＝L√((a)/(2h))   ④
 设粒子从C点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量v1＝√(2ah)  ⑤
由①④⑤式得  v＝√(v20+v21)＝√((qE(4h2+L2))/(2mh))=√(106×(103×(4×0.052+0．12))/(2×0.05))m/s＝√(2)×104m/s⑥
设粒子经过C点时的速度方向与x轴夹角为α，则有tanα=(v1)/(v0)  
  由④⑤⑦式得α=arctan(2h)/(L)＝(2×0.05)/(0.1)＝1  
α=45°方向与x轴正方向成45°角．
（2）粒子从C点进入磁场后在磁场中做速率为v的圆周运动．若圆周的半径为R，则有
qvB=(mv2)/(R)   ⑦
设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂直，且有

.

PC

＝

.

PA

＝R．
用β表示PA与y轴的夹角，

由几何关系得Rcosβ=Rcosα+h   ⑧
Rsinβ=l-Rsinα   ⑨
由以上各式得：R＝(h2+L2)/(2hL)⑩
 由⑥⑦⑩式导入数据解得：
R＝0.125√(2)m
（3）由⑦式解得：B＝(mv)/(qR)＝(v)/((q)/(m)×R)＝(√(2)×104)/(106×0.125√(2))T＝0.08T
答：（1）粒子经过C点时速度的大小是√(2)×104m/s，方向与+x成45°斜向下；
（2）粒子做圆周运动轨迹半径是0.125√(2)m；
（3）磁感应强度的大小是0.08T．