如图1，抛物线y=ax2-2ax-b（a＜0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的

Question

如图1，抛物线y=ax²-2ax-b（a＜0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②如图2，点E是y轴负半轴上的一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）把B（-1，0）代入得：b=3a，（1分）
y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
所以顶点D（1，-4a）．（2分）

（2）①有题设知：点C（0，-3a），点A（3，0），
且∠ACD=90°；（3分）
在Rt△AOC中，AC²=9a²+3²，
在Rt△AHD中，AD²=16a²+2²，
在Rt△CMD中，CD²=a²+1²，
因为AD²=AC²+CD²，
所以16a²+2²=a²+1²+9a²+3²，a²=1，又a＜0，
所以a=-1，（4分）
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
②设点M（m，y₁）
则BF=m+1，
点MF：BF=1：2，
∴MF=(m+1)/(2)，即y₁=(m+1)/(2)（5分）
点M（m，y₁）在抛物线上，
所以(m+1)/(2)=-m²+2m+3，
解得：m=(5)/(2)或m=-1（舍去），
点M的坐标为M（(5)/(2)，(7)/(4)）；（6分）
又因为MP∥BO，MP=BO，
所以点的坐标为P（(3)/(2)，(7)/(4)），
由

x＝(3)/(2)

y＝−x2+2x+3

得点N的坐标为N（(3)/(2)，(15)/(4)）．（7分）
③设点Q（1，y）
因为D（1，4），C（0，3）
直线CD的方程为y=x+3，（8分）
令y=0，得G（-3，0），
设直线CD与⊙O的切点为K，连接QK；
则△DQK∽△DGH，(DQ)/(DG)=(QK)/(GH)，（9分）
又QK=QB=√(4+y2)，DQ=4-y，
所以(4−y)/(4√(2))=(√(4+y2))/(4)，
整理得：y²+8y-8=0，
解得y=-4±2√(6)；
所以点Q的坐标为（1，-4+2√(6)）或（1，-4-2√(6)）．（10分）
说明：由∠QDK=45°，直接得出QD=√(2)QK，从而得4-y=√(2)√(4+y2)再求解，同样给分．