如图1，抛物线C：y=x2经过变化可得到抛物线C1：y1=a1x（x-b1），C1与x轴的正半轴交与点A1，且其对称轴分别交抛物线C，C1于点B1，D1，此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛

Question

如图1，抛物线C：y=x²经过变化可得到抛物线C₁：y₁=a₁x（x-b₁），C₁与x轴的正半轴交与点A₁，且其对称轴分别交抛物线C，C₁于点B₁，D₁，此时四边形OB₁A₁D₁恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线C₁：y₁=a₁x（x-b₁）经过变换可得到抛物线C₂：y₂=a₂x（x-b₂），C₂与x轴的正半轴交与点A₂，且其对称轴分别交抛物线C₁，C₂于点B₂，D₂，此时四边形OB₂A₂D₂也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线C₃：y₃=a₃x（x-b₃）与正方形OB₃A₃D₃．请探究以下问题：
（1）填空：a₁=___，b₁=___；
（2）求出C₂与C₃的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线C_n：y_n=a_nx（x-b_n）与正方形OB_nA_nD_n（n≥1）．
①请用含n的代数式直接表示出C_n的解析式；
②当x取任意不为0的实数时，试比较y₂₀₁₅与y₂₀₁₆的函数值的大小并说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线C经过变换得到抛物线C₁，则a₁=1，
代入C₁得：y₁=x（x-b₁），
y₁=0时，x（x-b₁）=0
x₁=0，x₂=b₁  
∴A₁（b₁，0）
由正方形OB₁A₁D₁得：OA₁=B₁D₁=b₁
∴B₁（(b1)/(2)，(b1)/(2)）
∵B₁在抛物线c上，则(b1)/(2)=((b1)/(2))2
b₁（b₁-2）=0
b₁=0（不符合题意），b₁=2
故答案为：1，2；
（2）由a₂=a₁=1得，y₂=x（x-b₂），
y₂=0时，x（x-b₂）=0
x₁=0，x₂=b₂  
∴A₂（b₂，0）
由正方形OB₂A₂D₂得：OA₂=B₂D₂=b₂
∴B₂（(b2)/(2)，(b2)/(2)）
∵B₂在抛物线c₁上，则(b2)/(2)=（(b2)/(2)）²-2×(b2)/(2)，
b₂（b₂-6）=0
b₂=0（不符合题意），b₂=6
∴C₂的解析式：y₂=x（x-6）=x²-6x，
由a₃=a₂=1得，y₃=x（x-b₃），
y₃=0时，x（x-b₃）=0
x₁=0，x₂=b₃  
∴A₃（b₃，0）
由正方形OB₃A₃D₃得：OA₃=B₃D₃=b₃
∴B₃（(b3)/(2)，(b3)/(2)）
∵B₃在抛物线c₂上，则(b3)/(2)=（(b3)/(2)）²-6×(b3)/(2)，
b₃（b₃-14）=0
b₃=0（不符合题意），b₃=14
∴C₃的解析式：y₃=x（x-14）=x²-14x，
（3）①C_n的解析式：y_n=x²-（2ⁿ⁺¹-2）x（n≥1）．
②由上题可得抛物线C₂₀₁₅的解析式为：y₂₀₁₅=x²-（2²⁰¹⁵⁺¹-2）x=x²-（2²⁰¹⁶-2）x
抛物线C₂₀₁₆的解析式为：y₂₀₁₆=x²-（2²⁰¹⁶⁺¹-2）x=x²-（2²⁰¹⁷-2）x
∴两抛物线的交点为（0，0）；
∴当x<0时，y₂₀₁₅<y₂₀₁₆；当x>0时，y₂₀₁₅>y₂₀₁₆．