阅读材料材料1：“上海自来水来自海上”是耳熟能详的回文对联，数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：22、131、1991、123321、…，像这样

Question

阅读材料
材料1：“上海自来水来自海上”是耳熟能详的回文对联，数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：22、131、1991、123321、…，像这样的数我们叫它“回文数”．
材料2：如果一个三位数

.

abc

，满足a+b+c=8，我们就称这个三位数为“吉利数”．
（1）请直接写出既是“回文数”又是“吉利数”的所有三位数；
（2）三位数

.

abc

①

.

abc

是大于500的“回文数”；
②

.

abc

的各位数字之和等于k是一个完全平方数；
求这个三位数

.

abc

（请写出必要的推理过程）．

Answer 1

（1）∵一个三位数既是“回文数”又是“吉利数”，
∴当a=c=1时，b=6，
当a=c=2时，b=4；
当a=c=3时，b=2，
当a=c=4时，b=0，
∴既是“回文数”又是“吉利数”的三位数有：161，242，323，404；

（2）∵

.

abc

是大于500的“回文数”，
∴5≤a<10，b<10，5≤c<10，
∴10≤a+b+c<30，
∵

.

abc

的各位数字之和等于k是一个完全平方数，
∴a+b+c=k²，
∴a+b+c=4²=16或a+b+c=5²=25，
又∵

.

abc

是大于500的“回文数”，
∴①若a+b+c=16，
则当a=c=5时，b=6；
当a=c=6时，b=4；
当a=c=7时，b=2；
当a=c=8时，b=0；
②若a+b+c=25，
则当a=c=8时，b=9；
当a=c=9时，b=7；
∴这个三位数

.

abc

是：565，646，727，808，898，979．