多项式f(x)被（x^2-1）除后的余式为x+1,被（x-2）除后的余式为9,那么f(x)被(x-2)(x^2-1)除后的余式为?

Question

多项式f(x)被（x^2-1）除后的余式为x+1,被（x-2）除后的余式为9,那么f(x)被(x-2)(x^2-1)除后的余式为?

Answer 1

设 f(x)=(x^2-1)g(x)+(x+1)……①
由 余式定理 f(2)=9
即 f(2)=3g(2)+3=9 → g(2)=2
可设 g(x)=(x-2)p(x)+2……②
②代入① 得 f(x)=(x^2-1)(x-2)p(x)+2(x^2-1)+(x+1)=(x^2-1)(x-2)p(x)+(2x^2+x-1)
∴ f(x)被(x-2)(x^2-1)除后的余式为 (2x^2+x-1)