已知a(x)是多项式且lim(x→∞)[a(x)-2x^3]/x^2=1,又当x→0时,a(x)与3x是等价无穷小,求a(x)

Question

已知a(x)是多项式
且lim(x→∞)[a(x)-2x^3]/x^2=1,又当x→0时,a(x)与3x是等价无穷小,求a(x)

Answer 1

因为lim(x→∞)[a(x)-2x^3]/x^2=1,
所以
可以设
a(x)=2x^3+x^2+bx+c
又x→0时,a(x)与3x是等价无穷小
即
lim(x→0)(2x^3+x^2+bx+c)/3x=1
即分子极限=0,即c=0
从而
lim(x→0)(2x^3+x^2+bx)/3x=1
lim(x→0)(bx)/3x=1
b=3
所以
a(x)=2x^3+x^2+3x