已知函数f（x）=x3-3x，则函数h（x）=f[f（x）]-c，c∈[-2，2]的零点个数（）A.5或6个B.3或9个C.9或10个D.5或9个

Question

已知函数f（x）=x³-3x，则函数h（x）=f[f（x）]-c，c∈[-2，2]的零点个数（　　）

A. 5或6个

B. 3或9个

C. 9或10个

D. 5或9个

Answer 1

设t=f（x），则由y=f[f（x）]-c=0，
得f[f（x）]=c，
即f（t）=c，t=f（x），
函数f（x）的导数f′（x）=3-3x²，
由f′（x）>0得-1由f′（x）<0得x<-1或x>1，此时函数单调递减，
即函数在x=1，取得极大值f（1）=3-1=2，
函数在x=-1，取得极小值f（-1）=-3+1=-2，
又由f（-2）=-2，f（2）=2得：

若f（t）=c，c∈（-2，2），则方程有三个解，
满足-21<-1，02<1，13<2，
则当-21<-1时，方程t=f（x），有3个根，
当02<1时，方程t=f（x），有3个根，
当13<2时，方程t=f（x），有3个根，
此时共有9个根，
若f（t）=c，c=2，则方程有两个解，
满足t₁=-2，t₂=1，
则当t₁=-2时，方程t=f（x），有2个根，
当t₂=1，有3个根，
此时共有5个根，
同理f（t）=c，c=-2时，也共有5个根
故选：D