已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（其中a实数，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，e）处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（其中a实数，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，e）处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ） 若存在x₁，x₂∈[e^-1，e]（x₁≠x₂），使方程g（x）=2e^xf（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（-x²+5x-3）e^x，
g′（x）=（-x²+3x+2）e^x，
故切线的斜率为g′（1）=4e，且g（1）=e，
所以切线方程为：y-e=4e（x-1），即4ex-y-3e=0．
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，得x=(1)/(e)，
①当t≥(1)/(e)时，在区间（t，t+2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（t）=tlnt，
②当0＜t＜(1)/(e)时，在区间（t，(1)/(e)）上f′（x）＜0，f（x）为减函数，
在区间（(1)/(e)，e）上f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以f（x）_min=f（(1)/(e)）=-(1)/(e)；
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x）可得2xlnx=-x²+ax-3
a=x+2lnx+(3)/(x)，
令h（x）═x+2lnx+(3)/(x)，h′（x）=1+(2)/(x)-(3)/(x2)=((x+3)(x−1))/(x2)

x	（(1)/(e)，1）	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

h（(1)/(e)）=(1)/(e)+3e-2，h（1）=4，h（e）=(3)/(e)+e+2，
h（e）-h（(1)/(e)）=4-2e+(2)/(e)＜0
则实数a的取值范围为（4，e+2+(3)/(e)]．