数列求和1+1/2+1/3+...+1/n=?(n为正整数）此和式结果可有近似值?有的话是多少啊?我问过好几个人,有的说和pai有关,有的说和对数有关,还有的说是无穷,我都晕了!请路过高手不吝赐教!

Question

数列求和
1+1/2+1/3+...+1/n=?(n为正整数）
此和式结果可有近似值?有的话是多少啊?我问过好几个人,有的说和pai有关,有的说和对数有关,还有的说是无穷,我都晕了!请路过高手不吝赐教!

Answer 1

很负责任地告诉你,没有近似值!但有近似公式!
很多人一开始看到这个问题,常常会很直觉的回答：[收敛级数].因为当级数继续发展下去,所加上的数便会趋近於无限小,趋近於零,对整个级数的影响也相对变小故得1+1/2+1/3+1/4+…..为收敛级数,这样的解释看似合理,但事实真是如此吗?大家都应该知道,所谓发散级数,指的就是无论加上多小的数,虽然一开始没有太大的变化,但加到某个范围便会持续变大,而上列的题目便是属於这种例子.
一开始我们先设原式为：
A=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+……
然后再设另一式为：
B=1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+……..
所以A ＞B ……①
B＝1+1/2+1/4×2+1/8×4+1/16×8+1/32×16+1/64×32+1/128×64+.
＝1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+……
由上式得知B为发散级数 ……②
由①②两个条件 ∴ A为发散级数
发散级数何来近似值?但是嘛!嘿嘿!
自然数的倒数组成的数列,称为调和数列
人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):
1+1/2+1/3+.+1/n≈lnn+C
(C=0.57722.一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)
人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.
但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.