已知数列{an},A1=1,以后各项由An=An-1+1/n(n-1).(n≥2)(1)写出数列{an}的前5项.（2）求数列{an}的通项公式.

Question

已知数列{an},A1=1,以后各项由An=An-1+1/n(n-1).(n≥2) (1)写出数
列{an}的前5项.
（2）求数列{an}的通项公式.

Answer 1

An=A(n-1)+1/[n(n-1)]
=>An-A(n-1)=1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
当n≥2时,
A2-A1=1-1/2
A3-A2=1/2-1/3
A4-A3=1/3-1/4
...
A(n-1)-A(n-2)=1/(n-2)-1/(n-1)
An-A(n-1)=1/(n-1)-1/n
将上述等式两边分别相加,则有
(A2-A1)+(A3-A2)+(A4-A3)+...+[A(n-1)-A(n-2)]+[An-A(n-1)]=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+[1/(n-2)-1/(n-1)]+[1/(n-1)-1/n]
=>An-A1=1-1/n
=>An=2-1/n
从而
(1)An的前5项可以根据题目条件直接写出：
A1=1,A2=A1+1/2=3/2,A3=A2+1/(3*2)=5/3,A4=A3+1/(4*3)=7/4,A5=A4+1/(5*4)=9/5
or亦可由通项公式求出：
A1=2-1/2=3/2,A2=2-1/2=3/2,...
(2)数据{An}通项公式为：An=2-1/n