在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD

Question

在Rt△ ABC 中，∠ ACB =90°，∠ A =30°， BD 是△ ABC 的角平分线， DE ⊥ AB 于点 E ．

                                       
（1）如图1，连接 EC ，求证：△ EBC 是等边三角形；
（2）点 M 是线段 CD 上的一点（不与点 C ， D 重合），以 BM 为一边，在 BM 的下方作∠ BMG =60°， MG 交 DE 延长线于点 G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出 MD ， DG 与 AD 之间的数量关系；
（3）如图3,点 N 是线段 AD 上的一点，以 BN 为一边，在 BN 的下方作∠ BNG =60°， NG 交 DE 延长线于点 G ，且MB=MG．试探究 ND ， DG 与 AD 数量之间的关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴ ， ，∵BD平分∠ABC，∴ ，∴ ，∵DE⊥AB于点E，∴ ，∴ ，∴△BCE是等边三角形
（2）AD = DG＋DM

（3）AD = DG－DN

试题分析：（1）要证明△BCE是等边三角形，首先要知道BC和BE相等，由于已给出 ，所以要证明 ，只需证明 ，利用题目中给出的数据，可以很容易求出。（2）由于 ，且 ，所以△MGB是等边三角形，做GF交DB于点F，所以△DFG为等边三角形，所以 ，又 ， ，所以△MDG≌△BFG，所以 ，又 ， ，而 ，所以
（3）延长BD至H，使得 ，由（1）得 ， ，∵DE⊥AB于点E，∴ ，∴ ，∴△NDH是等边三角形，∴ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，即 ，在△DNG和△HNB中， ， ， ，∴△DNG≌△HNB，∴DG=HB，∵HB=HD＋DB=ND＋AD，∴DG= ND＋AD，∴AD = DG－ND
点评：本题较为复杂，第一问通过直角三角形的特殊性，可以较容易解出来