（2014•市中区一模）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在BC上，且∠MPN=90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1）．过点P作PE⊥AB于点E，请探索PN与PM之间的

Question

（2014•市中区一模）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在BC上，且∠MPN=90°．
（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1）．过点P作PE⊥AB于点E，请探索PN与PM之间的数量关系，并说明理由；
（2）当PC=√(2)PA，
①点M、N分别在线段 AB、BC上，如图2时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并给予证明．
②当点M、K分别在线段AB、BC的延长线上，如图3时，请判断①中线段PN、PM之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）

Answer 1

（1）PN=√(3)PM，
理由：如图1，作PF⊥BC，
∵∠ABC=90°，PE⊥AB，
∴PE∥BC，PF∥AB，
∴四边形PFBE是矩形，
∴∠EPF=90°
∴P是AC的中点，
∴PE=(1)/(2)BC，PF=(1)/(2)AB，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
∴△MPE∽△NPF，
∴(PN)/(PM)=(PF)/(PE)=(AB)/(BC)，
∵∠A=30°，
在RT△ABC中，cot30°=(AB)/(Bc)=√(3)，
∴(PN)/(PM)=√(3)，
即PN=√(3)PM．


（2）解；①PN=√(6)PM，
如图2  在Rt△ABC中国，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F
∴四边形BFPE是矩形，
∴△PFN∽△PEM
∴(PF)/(PE)=(PN)/(PM)，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠C=60°
∴PF=

作业帮用户 2016-12-10

问题解析

（1）过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，则四边形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出

(PF)/(PE)=(PN)/(PM)=(AB)/(BC)，然后根据余切函数即可求得．
（2）同（1）证得△PFN∽△PEM得出(PF)/(PE)=(PN)/(PM)，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通过三角函数求得PF=(√(3))/(2)PC，PE=(1)/(2)PA，即可求得．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质．

考点点评：

本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角函数的应用．

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