已知函数f（x）=13f′（e）x+xlnx（其中，e为自然对数的底数，x>0）．（Ⅰ）求f′（e）；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）是否存在整数k，使得对任意的x>0，f（x）>k（x-1）恒成立（*

Question

已知函数f（x）=(1)/(3)f′（e）x+xlnx（其中，e为自然对数的底数，x>0）．
（Ⅰ）求f′（e）；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）是否存在整数k，使得对任意的x>0，f（x）>k（x-1）恒成立（*）若存在，写出一个整数k，并证明（*）；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′(x)=13f′(e)+lnx+1，…（1分）f′(e)=13f′(e)+1+1，f′（e）=3…（2分）（Ⅱ）由（1）知f（x）=x+xlnx，（x>0），f'（x）=2+lnx，…（3分）令f′(x)=2+lnx=0，即lnx=-2，即x=1e2，…（4分）令...