设复数z=3cosθ+isinθ．求函数y=tg（θ-argz）（0＜θ＜π2）的最大值以及对应的θ值．

Question

设复数z=3cosθ+isinθ．求函数y=tg（θ-argz）（0＜θ＜ (π)/(2) ）的最大值以及对应的θ值．

Answer 1

由 0＜θ＜(π)/(2) 得tgθ＞0．
由z=3cosθ+isinθ得tg（argz）= (sinθ)/(3cosθ) =(1)/(3) tgθ ．（3分）
故y=tg（θ-argz）= (tgθ-(1)/(3)tgθ)/(1+(1)/(3)t g2 θ) （6分）= (2)/((3)/(tgθ)+tgθ)
∵ (3)/(tgθ) +tgθ≥2

3

，
∴ (2)/((3)/(tgθ)+tgθ) ≤(3)/(3) ．（9分）
当且仅当 (3)/(tgθ) =tgθ（ 0＜θ＜(π)/(2) ）时，即tgθ=

3

时，上式取等号．
所以当θ= (π)/(3) 时，函数y取得最大值 (3)/(3) ．（12分）