对于数集X={-1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P。例如{-1，1，2}具有性质P。（1

Question

对于数集X={-1，x ₁ ，x ₂ ，…，x _n }，其中0＜x ₁ ＜x ₂ ＜…＜x _n ，n≥2，定义向量集Y={ =（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称X具有性质P。例如{-1，1，2}具有性质P。
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x _n ＞1时，x ₁ =1；
（3）若X具有性质P，且x ₁ =1、x ₂ =q（q为常数），求有穷数列x ₁ ，x ₂ ，…，x _n 的通项公式。

Answer 1

（1）选取 =（x，2），则Y中与  垂直的元素必有形式（-1，b），
所以x=2b，
又∵x＞2，
∴只有b=2，从而x=4。
（2）取  =（x1，x1）∈Y，设  =（s，t）∈Y，满足  ，
可得（s+t）x ₁ =0，s+t=0，
所以s、t异号
因为-1是数集X中唯一的负数，
所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，
所以1∈X，假设x _k =1，其中1＜k＜n，则0＜x ₁ ＜1＜x _n
再取  =（x ₁ ，x _n ）∈Y，设 =（s，t）∈Y，满足  ，
可得sx ₁ +tx _n =0，所以s、t异号，其中一个为-1
①若s=-1，则x ₁ =tx _n ＞1≥x ₁ ，矛盾；
②若t=-1，则x _n =sx ₁ ＜s≤x _n ，矛盾；
说明假设不成立，由此可得当x _n ＞1时，x ₁ =1。
（3）设 =（s ₁ ，t ₁ ）， =（s ₂ ，t ₂ ），
则 等价于
记B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称
意到-1是集合X中唯一的负数，
B∩（-∞，0）={-x ₂ ，-x ₃ ，-x ₄ ，…，-x _n }，共有n-1个数．
所以B∩（0，+∞）也有n-1个数
由于 ＜ ＜ ＜…＜ ，已经有n-1个数
对以下三角形数阵：
＜ ＜ ＜…＜ ，
＜ ＜ ＜…＜                 
…

注意到 ＞ ＞ ＞…＞ ，
所以 =

作业帮用户 2017-09-24

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