F(x)=a/3x3-33/2+(a+1)x+1已知函数f(x)=a/3x^3-3/2x^2+(a+1)x+1,其中a为实数（1）已知不等式f'(x)>x^2-x-a+1对任意a属于（0,+∞）都成立,求实数x的取值范围

Question

F(x)=a/3x3-33/2+(a+1)x+1
已知函数f(x)=a/3x^3-3/2x^2+(a+1)x+1,其中a为实数
（1）已知不等式f '(x)>x^2-x-a+1对任意a属于（0,+∞）都成立,求实数x的取值范围

Answer 1

f'(x)=ax²-3x+(a+1)
∴ 不等式f '(x)>x^2-x-a+1对任意a属于（0,+∞）都成立
即 ax²-3x+a+1>x²-x-a+1对任意a属于（0,+∞）都成立
∴ a(x²+2)-x²-2x>0对任意a属于（0,+∞）都成立
∴ 构造函数F(a)=a(x²+2)-x²-2x,是关于a的一次函数.
∴ 要满足题意,则F(0)=-x²-2x≥0
∴ x²+2x≤0
∴ -2≤x≤0
综上,实数x的取值范围是【-2,0】