设函数f（x）在[0，1]上连续且单调增加，又知a∈[0，1]，证明a0f（t）dt≤a10f（t）dt．

Question

设函数f（x）在[0，1]上连续且单调增加，又知a∈[0，1]，证明

a

0

f（t）dt≤a

1

0

f（t）dt．

Answer 1

令F（x）=(1)/(x)

∫

x 0

f(t)dt，则F（0）=0．
利用积分上限函数的性质可得，F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
F′（x）=−(1)/(x2)

∫

x 0

f(t)dt+(f(x))/(x)=(1)/(x)(f(x)−(1)/(x)

∫

x 0

f(t)dt)．
因为f（x）在[0，1]上连续且单调增加，
所以

∫

x 0

f(t)dt≤xf（x），
从而(1)/(x)

∫

x 0

f(t)dt≤f（x），
即有：F′（x）≥0．
从而，F（x）在[0，1]上单调增加，
故对于任意a∈[0，1]，均有F（a）≤F（1），
即：(1)/(a)

∫

a 0

f(t)dt≤

∫

1 0

f(t)dt，
即：

∫

a 0

f(t)dt≤a

∫

1 0

f(t)dt．