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设函数f（x）在[0，1]上连续且单调增加，又知a∈[0，1]，证明a0f（t）dt≤a10f（t）dt．
题目详情
设函数f（x）在[0，1]上连续且单调增加，又知a∈[0，1]，证明
f（t）dt≤a
f（t）dt．
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| 0 |
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| 0 |
▼优质解答
答案和解析
令F（x）=
f(t)dt，则F（0）=0．
利用积分上限函数的性质可得，F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
F′（x）=−
f(t)dt+
=
(f(x)−
f(t)dt)．
因为f（x）在[0，1]上连续且单调增加，
所以
f(t)dt≤xf（x），
从而
f(t)dt≤f（x），
即有：F′（x）≥0．
从而，F（x）在[0，1]上单调增加，
故对于任意a∈[0，1]，均有F（a）≤F（1），
即：
f(t)dt≤
f(t)dt，
即：
f(t)dt≤a
f(t)dt．
| 1 |
| x |
| ∫ | x 0 |
利用积分上限函数的性质可得，F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
F′（x）=−
| 1 |
| x2 |
| ∫ | x 0 |
| f(x) |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| ∫ | x 0 |
因为f（x）在[0，1]上连续且单调增加，
所以
| ∫ | x 0 |
从而
| 1 |
| x |
| ∫ | x 0 |
即有：F′（x）≥0．
从而，F（x）在[0，1]上单调增加，
故对于任意a∈[0，1]，均有F（a）≤F（1），
即：
| 1 |
| a |
| ∫ | a 0 |
| ∫ | 1 0 |
即：
| ∫ | a 0 |
| ∫ | 1 0 |
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