所有整数和[0,1]区间的所有实数一样多么能找到直接的对应关系么?毕竟傅里叶级数是是一个从[0,1]^R到Z^R的一一映射啊.

Question

所有整数和[0,1]区间的所有实数一样多么
能找到直接的对应关系么?
毕竟傅里叶级数是是一个从[0,1]^R到Z^R的一一映射啊.

Answer 1

理论上不可能有一一对应关系,因为整数集可一一列举,[0,1]上的实数不可一一列举（最后证明）.
让二者建立一一映射就意味着,一个整数对唯一一个[0,1]上的实数,[0,1]上的实数可以像整数的方法列举,与[0,1]上的实数不可一一列举的事实矛盾.所以不可能.
以下附上[0,1]上的实数不可一一列举的证明
其实只要证明(0,1]区间的实数集是不可列的.如果它是可列的,说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,...,tn,...,只有这样,它才能对等于自然数集.好,这时我们将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：
　　t1=0.t11t12t13...t1n...
　　t2=0.t21t22t23...t2n...
　　...
　　tm=0.tm1tm2tm3...tmn...
　　其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个.
但是我们可以构造一个小数a=0.a1a2a3...ak...,任意的ai也都是0～9这十个数字中的某一个,但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii,也就是让第i位的数字跟数列中第i行第i个数字不同.这是可行的,因为我们用的是十进制小数,还剩下9个不同数字可供选择呢.当我们构造好了这样的一个小数之后,我们发现它实际上跟上述小数列中的任何一个都不相等.这就造成了逻辑上的矛盾,你说已经把所有小数都列出来了,但是我却发现至少我构造的这个小数,你还没有罗列出来.就算你亡羊补牢,把我这个也补充进去,但是我还是可以根据同样规则又构造出另一个.所以,只能说明实数是无法跟可列集形成一一对应的,也就是前面的假设是错误的.