已知阿尔法为锐角,利用单位圆证明阿尔法大于sin阿尔法小于tan阿尔法

Question

已知阿尔法为锐角,利用单位圆证明阿尔法大于sin阿尔法小于tan阿尔法

Answer 1

证明：设⊙O为单位圆,图不好画,你可以照着我说的画：OA是一条水平的半径,以OA为边,在第一象限作一个锐角α,另一边交单位圆于点B,过A作AE⊥OA,E在OB的延长线上,过B作BD⊥OA
对于圆心角α=∠BOA（α是弧度制）,有sinα=BD,cosα=OD,tanα=EA,弧长AB=α*R=α,
因为α为锐角,根据图形可知：S△OBA＜S扇形OBA＜S△OEA,
即（1/2）*OA*BD＜（1/2）*弧长AB*R＜（1/2）*OA*EA,
因为OA=R=1,
再约去1/2,得BD＜α＜EA,
将sinα=BD,tanα=EA代入,即可得到：
sinα