为什么每组勾股数乘积都是六十的整数倍?如题,偶然发现此规律,如果它是正确的,请证明；如果它是错误的,请证伪或举反例.

Question

为什么每组勾股数乘积都是六十的整数倍?
如题,偶然发现此规律,如果它是正确的,请证明；如果它是错误的,请证伪或举反例.

Answer 1

设a^2+b^2=c^2.（1）
利用性质：奇数的平方除以8余数必为1,
若a,b都是奇数,则（1）式左边被4除余数为2,右边c必为偶数,右边能被4整除,矛盾!
所以a,b至少有一个是偶数.
若a,b都是偶数,则ab是4的倍数；
若a,b一个是奇数,另一个是偶数,则c为奇数,设b为奇数,
于是c^2-b^2=a^2能被8整除,推知a能被4整除,
综上,ab一定能被4整除.
设a=3k+r,r=0,1,2
易见,若a不能被3整除,则a^2除以3余数必为1.
b,c也如此.
若a,b都不能被3整除,则（1）式左边除以3余数为2,但右边余数只能是0或1,矛盾!
所以ab一定能被3整除!
设a=5k+r,r=0,1,2,3,4.
易证a^2除以5余数必为0,1或4,
b,c也如此.
若a,b,c都不能被5整除,则（1）式左边除以5时,余数为1+1,1+4或4+4,右边余数为1或4,
左右不能相等,矛盾!
所以,abc能被5整除.
综上,abc能被60整除