有谁知道勾股定理中的勾股数345,51213,81517,202129.有什么规律吗?能用含有n的式子表示出来吗?

Question

有谁知道勾股定理中的勾股数3 4 5,5 12 13 ,8 15 17,20 21 29.
有什么规律吗?能用含有n的式子表示出来吗?

Answer 1

在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2.
满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数.
例如（3、4、5）,（5、12、13）,（6、8、10）,（7、24、25）等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c2,因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）.显然,若直角三角形的边长都为正整数,则这三个数便构成一组勾股数；反之,每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形.因此,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.
1．任取两个正整数m、n,使2mn是一个完全平方数,那么
c=2+9+6=17.
则8、15、17便是一组勾股数.
证明：
∴a、b、c构成一组勾股数
2．任取两个正整数m、n、(m＞n),那么
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数.
例如：当m=4,n=3时,
a=42-32=7,b=2×4×3=24,c=42+32=25
则7、24、25便是一组勾股数.
证明：
∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+4n2
=(m2+n2)2
=c2
∴a、b、c构成一组勾股数.
3．若勾股数组中的某一个数已经确定,可用如下的方法确定另外两个数.
首先观察已知数是奇数还是偶数.
(1)若是大于1的奇数,把它平方后拆成相邻的两个整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数.
例如9是勾股数中的一个数,
那么9、40、41便是一组勾股数.
证明：设大于1的奇数为2n+1,那么把它平方后拆成相邻的两个整数为
(2)若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数.
例如8是勾股数组中的一个数.
那么8、15,17便是一组勾股数.
证明：设大于2的偶数2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得的两个整数为n2-1和n2+1
∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数.