如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-6，0）、B（0，-8）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙

Question

如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-6，0）、B（0，-8）两点．
（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S_△PDE=(1)/(15)S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

−6k+b＝0

b＝−8

，
解得

k＝−(4)/(3)

b＝−8

，
所以直线AB的解析式y=-(4)/(3)x-8；

（2）设抛物线的方程y=ax²+bx+c，
∵A（-6，0）、B（0，-8），
∴AB=10，
∴⊙M的半径为5，
∴M（-3，-4），
∵由函数图象可知抛物线的顶点在圆上，函数图象的对称轴与y轴平行，
∴抛物线的顶点C（-3，1），
且因抛物线的点对称性有一点与B点关于抛物线的轴对称为F（-6，-8），
由三点代入抛物线方程的a=-1，b=-6，c=-8．
所以y=-x²-6x-8；

（3）连接AC，BC，
根据（2）得：B（0，-8），
直线BC的解析式为：y=-3x-8，
∴点K（-(8)/(3)，0），
∴AK=6-(8)/(3)=(10)/(3)，
∴S_△ABC=S_△AKC+S_△ABK=(1)/(2)×(10)/(3)×1+(1)/(2)×(10)/(3)×8=15，
所以假设三角形PDE的面积为1，因为DE长为2，
所以P到DE的距离为1．
当y=1时，-x²-6x-8=1，解得x₁=x₂=-3，∴P₁（-3，1）；
当y=-1时，-x²-6x-8=-1，解得x₁=-3+√(2)，x₂=-3-

作业帮用户 2017-09-17