已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,且AB//CD,点E分有向线段向量AC所成的比为8/11,双曲线过CDE三点,且以AB为焦点,求离心率

Question

已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,且AB//CD,
点E分有向线段向量AC所成的比为8/11,双曲线过CDE三点,且以AB为焦点,求离心率

Answer 1

如图,已知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC所成的比为8/11,双曲线以A、B为焦点,且过C、D、E三点,求双曲线离心率e的取值范围．
解析：如图所示,以线段AB的中垂线为y轴,以直线AB为x轴,建立直角坐标系,则CD⊥y轴.
　∵ 点C、D在双曲线上,且A、B为双曲线的焦点,
　∴ C、D关于y轴对称.
　　依题意,记A（－c,0）,B（c,0）.
　　∵|AB|=2|CD|,∴ 记C(c/2,n)
　　其中c为双曲线的半焦距,c=(1/2)|AB|,n是梯形的高.
∵ 点E分有向线段的AC所成的比为8/11,
∴由定比分点坐标公式,可得
xE＝(-7/19)c,yE＝(8/19)c,
　　设双曲线的方程为x2/a2-y2/b2=1,则离心率e=c/a．
由点C、E在双曲线上,得
c2/4a2- n2/b2=1 ①
49c2/361a2-64 n2/361b2=1 ②
由①得,n2/b2 ＝c2/4a2－1,
代入②,整理得c2/a2＝9,
∴e＝3.
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