如图所示，平面坐标系中，圆形区域的匀强磁场，圆心坐标（R，R），半径为R，与坐标轴相切于A、C两点．今有两带相同电量的负电粒子甲、乙从P、Q两点分别以速度v1、v2水平向右运动，并

Question

如图所示，平面坐标系中，圆形区域的匀强磁场，圆心坐标（R，R），半径为R，与坐标轴相切于A、C两点．今有两带相同电量的负电粒子甲、乙从P、Q两点分别以速度v₁、v₂水平向右运动，并刚好同时进入圆形磁场．P、Q在y轴上，且PA=QA=R/2，不计它们的重力及相互作用的库仑力．通过磁场偏转后，均能通过C点，进入下方的薄弧形阻挡层MN，弧形层的圆心为C，半径r=R；若粒子进入该区域将会等速率反向弹回去，与弧形阻挡层作用时间忽略不计，且粒子电量不变．
（1）若甲粒子电量为q₁，质量为m₁，求磁感应强度B
（2）若v₁=v₂，求甲、乙粒子从进入磁场开始至第一次到达C点所有的时间之比t₁：t₂
（3）若两粒子能在运动中相遇，试求甲、乙粒子的质量之比m₁：m₂．

Answer 1

（1）作图确定甲乙圆心，由几何关系可以得出：圆周运动半径均为R，由
R=(m1v1)/(qB)
得：B=(m1v1)/(q1R)；
（2）两粒子运动轨迹如图虚、实线所示，半径关系：
(m1v1)/(q1B)=(m2v2)/(q2B)=R
甲在磁场中运动时间t₁=((1)/(3)•2πm1)/(q1B)
乙在磁场中运动时间t₂=((1)/(6)×2πm2)/(q2B)
又q₁=q₂  v₁=v₂
解得：t₁：t₂=2：1；
（3）甲乙轨迹显示可能相遇点为C和圆心O，
①若相遇点为C，(1)/(3)×(2πm1)/(qB)=(1)/(6)×(2πm2)/(qB)    
得：(m1)/(m2)=(1)/(2)
或(1)/(3)×(2πm1)/(qB)=(2R)/(v1)+(1)/(6)×(2πm2)/(qB)   
得：(m1)/(m2)=(π+6)/(2π)
或(1)/(3)×(2πm1)/(qB)+(2R)/(v1)=(1)/(6)×(2πm2)/(qB)    
得：(m1)/(m2)=(π)/(2π+6)
②若相遇点为O，
(1)/(6)×(2πm1)/(qB)=(1)/(6)×(2πm2)/(qB)+(2R)/(v2)+(1)/(6)×(2πm2)/(qB)
得：(m1)/(m2)=(v2)/(v1)=(2π+6)/(π)
答：（1）若甲粒子电量为q₁，质量为m₁，磁感应强度B=(m1v1)/(q1R)；
（2）若v₁=v₂，求甲、乙粒子从进入磁场开始至第一次到达C点所有的时间之比t₁：t₂
（3）若两粒子能在运动中相遇，试求甲、乙粒子的质量之比m₁：m₂．